Question

已知數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為d，S_n為其前 n項(xiàng)和，且滿足，n∈N^*．?dāng)?shù)列{b_n}滿足，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n和數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n；
（2）若對任意的n∈N^*，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍；
（3）是否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）在中，令n=1，n=2，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法，可求T_n；
（2）分n為偶數(shù)、奇數(shù)時(shí)，利用分離參數(shù)法，通過求函數(shù)的最值，即可確定λ的取值范圍；
（3）利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，進(jìn)一步可得，由此可得結(jié)論．
解答：解：（1）在中，令n=1，n=2，
得，即        …（1分）
解得a₁=1，d=2，∴a_n=2n-1
又∵a_n=2n-1時(shí)，滿足，∴a_n=2n-1…（2分）
∵，
∴T_n=（1-+-+…+）=．   …（4分）
（2）①當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．    …（5分）
∵≥8，等號(hào)在n=2時(shí)取得．
∴此時(shí)λ 需滿足λ＜25．              …（6分）
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立．      …（7分）
∵是隨n的增大而增大，∴n=1時(shí)，取得最小值-6．
∴此時(shí)λ 需滿足λ＜-21．            …（8分）
綜合①、②可得λ的取值范圍是λ＜-21． …（9分）
（3），
若T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列，則，
即．                           …（10分）
由，可得，即-2m²+4m+1＞0，
∴．                 …（11分）
又m∈N，且m＞1，所以m=2，此時(shí)n=12…（12分）
因此，當(dāng)且僅當(dāng)m=2，n=12時(shí)，數(shù)列T₁，T_m，T_n中的T₁，T_m，T_n成等比數(shù)列．…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義與性質(zhì)、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程的思想、分類與整合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想．