如圖，四棱錐P-ABCD的底面是AB=2，BC=
2
的矩形，側面PAB是等邊三角形，且側面PAB⊥底面ABCD，求側棱PB與平面PCD所成角的正弦值．
考點：直線與平面所成的角
專題：空間角
分析：取AB中點O，以O為原點，OB為x軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出側棱PB與平面PCD所成角的正弦值．
解答： 解：取AB中點O，以O為原點，OB為x軸，OP為z軸，
建立空間直角坐標系，
由已知得B（1，0，0），P（0，0，
3
），
C（1，
2
，0），D（-1，
2
，0），
PC
=（1，
2
，-
3
），
PD
=（-1，
2
，-
3
），
設平面PCD的法向量
n
=（x，y，z），
則
n
•
PC
=x+
2
y-
3
z=0
n
•
PD
=-x+
2
y-
3
z=0
，
取y=
3
，得
n
=（0，
3
，
2
），
PB
=（1，0，-
3
），
設側棱PB與平面PCD所成角的為θ，
sinθ=|cos＜
PB
，
n
＞|=|
-
6
5
×2
|=
30
10
．
∴側棱PB與平面PCD所成角的正弦值為
30
10
．
點評：本題考查直線與平面所成角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．
練習冊系列答案
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3x
x+1
≤1的解集．
（1）若集合A中恰有兩個正整數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；
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B、{1，2}
C、{2，3}
D、{3，4}

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A、16
3
B、8
3
C、8
2
D、4
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=lnx+
1
2
x2-（m+2）x，在x=a和x=b處有兩個極值點，其中a＜b，m∈R．
（Ⅰ）求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）若
b
a
≥e（e為自然對數(shù)的底數(shù)），求f（b）-f（a）的最大值．

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