設(shè)f(x)=2
3
cosx(
3
cosx-sinx)

(Ⅰ)求f(x)的最大值及最小正周期;
(Ⅱ)若銳角α滿足f(α)=3-2
3
,求tan
4
5
α
的值.
分析:(I)函數(shù)f(x)表達(dá)式展開(kāi),再利用三角函數(shù)的降冪公式和輔助角公式化簡(jiǎn),最后整理成標(biāo)準(zhǔn)形式:f(x)=-2
3
sin(2x-
π
3
)+3,由函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+K的有關(guān)公式,可以求出f(x)的最大值及最小正周期;
(II)將x=α代入(I)中求出的表達(dá)式,化簡(jiǎn)可得sin(2α-
π
3
)=1
,再結(jié)合α為銳角,解這個(gè)關(guān)于α的等式,可得α=
12
,從而得到tan
4
5
α
=tan
π
3
=
3
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=2
3
cosx(
3
cosx-sinx)
=6cos2x-2
3
 sinxcosx

∴化簡(jiǎn),得f(x)=3(1+cos2x)-
3
sin2x=-2
3
sin(2x-
π
3
)+3
∵-1≤sin(2x-
π
3
)≤1,
∴當(dāng)sin(2x-
π
3
)=-1時(shí),f(x)的最大值為3+2
3

f(x)的最小正周期為
2
=π;
(Ⅱ)由(I),得f(α)=-2
3
sin(2α-
π
3
)+3=3-2
3

sin(2α-
π
3
)=1

2α-
π
3
=
π
2
 +2kπ
  (k為整數(shù))
∵銳角α∈(0,
π
2

2α-
π
3
∈(-
π
3
,
3
)
,取k=0,得2α-
π
3
=
π
2

所以α=
12
4
5
α=
π
3

tan
4
5
α
=tan
π
3
=
3
點(diǎn)評(píng):本題以含有正、余弦的二次函數(shù)式的化簡(jiǎn)求最值為載體,著重考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn),屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
m
=(cosx,-sinx)
,
n
=(cosx,sinx-2
3
cosx)
,x∈R,設(shè)f(x)=
m
n

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期.
(2)若f(x)=
24
13
,且x∈[
π
4
,
π
2
]
,求sin2x的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向量
=(sinx,2
3
cosx
),
=(2sinx,sinx),設(shè)f(x)=
 • 
-1

(1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若x∈[ 0 ,  
π
2
 ]
,求f(x)的值域;
(3)若f(x)的圖象按
=(t,0)作長(zhǎng)度最短的平移后,其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,求
的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2009•溫州一模)已知向量
m
=(cosx,-sinx)
,
n
=(cosx,sinx-2
3
cosx)
,x∈R,設(shè)f(x)=
m
n

(I)求函數(shù)f(x)的最小正周期.
(II)x∈[
π
4
π
2
]
,求f(x)的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知向
a
=(sinx,2
3
cosx),
b
=(2sinx,sinx),設(shè)f(x)=
a
b
-1

(Ⅰ)若x∈[0,
π
2
],求f(x)
的值域;
(Ⅱ)若函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=α(α>0)對(duì)稱,求α的最小值.

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