Question

已知復(fù)數(shù)z=x+yi（x，y∈R）滿足：|z+

5

|-|z-

5

|=2a，且z在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P的軌跡C經(jīng)過點(diǎn)（4，

3

）
（1）求C的軌跡；
（2）若過點(diǎn)A（4，0），傾斜角為

π

4

的直線l交軌跡C于M、N兩點(diǎn)，求△OMN的面積S．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題,復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,復(fù)數(shù)求模

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)軌跡C的方程為：

x2

a2

-

y2

5-a2

=1，將（4，

3

）代入方程，能求出C的軌跡方程．
（Ⅱ）直線l的方程為：y=x-4，聯(lián)立方程：

y2= x2 4 -1 y=x-4

，得3y²-8y-12=0，由此利用橢圓弦長公式能求出△OMN的面積．

解答： 解：（Ⅰ）由題意，設(shè)軌跡C的方程為：

x2

a2

-

y2

5-a2

=1，
∵焦點(diǎn)坐標(biāo)是（±

5

，0），∴焦點(diǎn)在x軸上，
將（4，

3

）代入方程，得：

16

a2

-

3

5-a2

=1，
整理，得a⁴-24a²+80=0，
解得a²=4，或a²=20
∵焦點(diǎn)是（±

5

，0），∴a²=20不合題意，舍去，
∴C的軌跡方程是：

x2

4

-y2=1（x≥2）．
（Ⅱ）∵直線l過點(diǎn)A（4，0），傾斜角為

π

4

，
∴直線l的方程為：y=x-4，
聯(lián)立方程：

y2= x2 4 -1 y=x-4

，得3y²-8y-12=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則y1+y2=

8

3

，y₁y₂=-4，
|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4

3

13

，
|OA|=4，
∴△OMN的面積S=

1

2

|OA|•|y₁-y₂|=

8 13

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡方程的求法，考查三角形面積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運(yùn)用．