稱滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”：

①；②.

（1）若數(shù)列的通項公式是，

試判斷數(shù)列是否為2014階“期待數(shù)列”，并說明理由；

（2）若等比數(shù)列為階“期待數(shù)列”，求公比q及的通項公式；

（3）若一個等差數(shù)列既是階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式；

 

【答案】

（1）是；

（2）．或；

（3）；

【解析】

試題分析：（1）判斷數(shù)列是不是為2014階“期待數(shù)列”，就是根據(jù)定義計算，，是不是一個為0，一個為1，如是則是“期待數(shù)列”，否則就不是；（2）數(shù)列中等比數(shù)列，因此是其前和，故利用前前項和公式，分和進(jìn)行討論，可很快求出，或；（3）階等差數(shù)列是遞增數(shù)列，即公差，其和為0，故易知數(shù)列前面的項為負(fù)，后面的項為正，即前項為正，后項為正，因此有，，這兩式用基本量或直接相減可求得，，因此通項公式可得．

試題解析：（1）因為，          2分

 所以

，

所以數(shù)列為2014階“期待數(shù)列”           4分

（2）①若，由①得，，得，矛盾．     5分

若，則由①=0，得，     7分

由②得或．

所以，．?dāng)?shù)列的通項公式是

或            9分

（3）設(shè)等差數(shù)列的公差為，>0．

∵，∴，∴，

∵>0，由得，，         11分

由①、②得，，     13分

兩式相減得，，  ∴，

又，得，

∴數(shù)列的通項公式是．  16分

考點：（1）三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與新定義的理解；（2）等比數(shù)列的前和公式與通項公式；（3）等差數(shù)列的前和公式與通項公式．

 

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將所有平面向量組成的集合記作R2，f是從R2到R2的映射，記作
y
=f(
x
)或（y1，y2）=f（x1，x2），其中x1，x2，y1，y2都是實數(shù)．定義映射f的模為：在|
x
|=1的條件下|
y
|的最大值，記做||f||．若存在非零向量
x
∈R2，及實數(shù)λ使得f（
x
）=λ
x
，則稱λ為f的一個特征值．
（1）若f（x1，x2）=（
1
2
x1，x2），求||f||；
（2）如果f（x1，x2）=（x1+x2，x1-x2），計算f的特征值，并求相應(yīng)的
x
；
（3）若f（x1，x2）=（a1x1+a2x2，b1x1+b2x2），要使f有唯一的特征值，實數(shù)a1，a2，b1，b2應(yīng)滿足什么條件？試找出一個映射f，滿足以下兩個條件：①有唯一的特征值λ，②||f||=|λ|，并驗證f滿足這兩個條件．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）同時滿足以下兩個條件：①f（x）在其定義域上是單調(diào)函數(shù)；②在f（x）的定義域內(nèi)存在區(qū)間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是[a，b]．則稱函數(shù)f（x）為“自強”函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）=2x-1是否為“自強”函數(shù)？若是，則求出a，b若不是，說明理由；
（2）若函數(shù)f（x）=
2x-1
+t是“自強”函數(shù)，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

稱滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列a1，a2，…an為n（n=2，3，4，…）階“期待數(shù)列”：①a1+a2+a3+…+an=0； ②|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=1．
（1）若數(shù)列{an}的通項公式是an=
1
2014
•sin
(2n-1)π
2
（n=1，2，…2014），試判斷數(shù)列{an}是否為2014階“期待數(shù)列”，并說明理由；
（2）若等比數(shù)列{bn}為2k（k∈N*）階“期待數(shù)列”，求公比q及數(shù)列{bn}的通項公式；
（3）若一個等差數(shù)列{cn}既是2k（k∈N*）階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年上海市徐匯區(qū)高三上學(xué)期期末考試（一模）理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

稱滿足以下兩個條件的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”：

①；②.

（1）若等比數(shù)列為階“期待數(shù)列”，求公比q及的通項公式；

（2）若一個等差數(shù)列既是階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項公式；

（3）記n階“期待數(shù)列”的前k項和為：

（i）求證：；

（ii）若存在使，試問數(shù)列能否為n階“期待數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請說明理由.

 

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