Question

某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的月利潤(rùn)y=f（x）與投資額x成正比，且投資4萬(wàn)元時(shí)，月利潤(rùn)為2萬(wàn)元；B產(chǎn)品的月利潤(rùn)y=g（x）與投資額x的算術(shù)平方根成正比，且投資4萬(wàn)元時(shí)，月利潤(rùn)為1萬(wàn)元．（允許僅投資1種產(chǎn)品）
（1）分別求出A、B兩種產(chǎn)品的月利潤(rùn)表示為投資額x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該企業(yè)已籌集到10萬(wàn)元資金，并全部投入A、B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，問(wèn)：怎樣分配這10萬(wàn)元資金，才能使企業(yè)獲得最大的月利潤(rùn)，最大月利潤(rùn)是多少？（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）

Answer 1

分析：（1）設(shè)出函數(shù)解析式，利用投資4萬(wàn)元時(shí)，A產(chǎn)品的月利潤(rùn)為2萬(wàn)元；投資4萬(wàn)元時(shí)，B產(chǎn)品的月利潤(rùn)為1萬(wàn)元，可求函數(shù)解析式；
（2）將企業(yè)獲利表示成對(duì)產(chǎn)品B投資x的函數(shù)，再用換元法，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，即可求出函數(shù)的最值．

解答：解：（1）投資為x萬(wàn)元，A產(chǎn)品的利潤(rùn)為f（x）萬(wàn)元，B產(chǎn)品的利潤(rùn)為g（x）萬(wàn)元，
由題設(shè)f（x）=k₁x，g（x）=k₂

x

，（k₁，k₂≠0；x≥0）
∵投資4萬(wàn)元時(shí)，A產(chǎn)品的月利潤(rùn)為2萬(wàn)元，∴f（4）=2，∴k₁=

1

2

∵投資4萬(wàn)元時(shí)，B產(chǎn)品的月利潤(rùn)為1萬(wàn)元，∴g（4）=1，∴k₂=

1

2

         
從而f（x）=

1

2

x，g（x）=

1

2

x

（x≥0）；
（2）設(shè)A產(chǎn)品投入x萬(wàn)元，則B產(chǎn)品投入10-x萬(wàn)元，設(shè)企業(yè)的利潤(rùn)為y萬(wàn)元
y=f（x）+g（10-x）=

1

2

x+

1

2

10-x

，（0≤x≤10），
令

10-x

=t，（0≤t≤

10

），則y=-

1

2

(t-

1

2

)2+

41

8

，
∴t=

1

2

時(shí)，y_max=

41

8

，此時(shí)x=9.75
∴當(dāng)A產(chǎn)品投入9.75萬(wàn)元，B產(chǎn)品投入0.25萬(wàn)元時(shí)，企業(yè)獲得最大利潤(rùn)約為

41

8

萬(wàn)元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，考查將實(shí)際問(wèn)題的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題．解題的關(guān)鍵是換元，利用二次函數(shù)的求最值的方法求解．注意應(yīng)用題的解題規(guī)范．屬于中檔題．