Question

【題目】定義：若一個函數(shù)存在極大值，且該極大值為負(fù)數(shù)，則稱這個函數(shù)為“函數(shù)”．

（1）判斷函數(shù)是否為“函數(shù)”，并說明理由；

（2）若函數(shù)是“函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）已知，，、，求證：當(dāng)，且時，函數(shù)是“函數(shù)”．

Answer 1

【答案】（1）是“函數(shù)”，理由見解析；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值，結(jié)合題中定義判斷即可；

（2）分和兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，利用題中定義得出關(guān)于的不等式，進(jìn)而可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，設(shè)函數(shù)的極值點(diǎn)分別為、，可知、是方程的兩根，進(jìn)而可列出韋達(dá)定理，結(jié)合韋達(dá)定理證明出函數(shù)的極大值為負(fù)數(shù)，由此可證得結(jié)論.

（1）函數(shù)是“函數(shù)”，理由如下：

因?yàn)?/span>，則，

當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以函數(shù)的極大值，故函數(shù)是“函數(shù)”；

（2）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，.

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，無極大值，不滿足題意；

當(dāng)時，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)的極大值為，

易知，解得，

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是；

（3） ，因?yàn)?/span>，，則，

所以有兩個不等實(shí)根，設(shè)為、，

因?yàn)?/span>，所以，，不妨設(shè)，

當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時，，則函數(shù)單調(diào)遞減.

所以函數(shù)的極大值為，

由得，

因?yàn)?/span>，，

所以

．

所以函數(shù)是“函數(shù)”．