如圖,正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交于CD,線段CD為圓O的弦,AE垂直于圓O所在平面,垂足E是圓O上異于C、D的點(diǎn),AE=3,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為.
(1)求證:平面ABCD丄平面ADE;
(2)求四面體BADE的體積;
(3)試判斷直線OB是否與平面CDE垂直,并請(qǐng)說明理由.
(1)如下(2)(3)OB與平面CDE不垂直
【解析】
試題分析:解:(1)∵AE⊥平面CDE,平面CDE,
∴AE⊥CD,又∵正方形ABCD,∴CD⊥AD,
,∴CD⊥平面ADE,
,∴平面ABCD丄平面ADE.
(2)為正方形,
,
,
又((1)已證),
,
平面
,
∴四面體BCDE的體積,∵AE⊥平面CDE,∴AE⊥DE,在Rt△ADE中,
,
∴四面體ABDE的體積.
(3)連結(jié)CE,由(1)知,CD⊥平面ADE,∴CD⊥DE,∴弦CE為直徑,即O為CE中點(diǎn).
若OB⊥平面CDE,則CD⊥CE,∴BC=BE,又AB=BC,∴AB=BE,
由(2)知,AB⊥AE,∴AB<BE,矛盾,∴OB與平面CDE不垂直.
方法2:若OB⊥平面CDE,∵AE⊥平面CDE,∴OB//AE,∴四點(diǎn)A、B、E、O在同一平面上,平面ABOE平面CDE=OE,又AB//CD,AB
平面CDE,CD
平面CDE,∴AB//平面CDE,∴AB//OE,∴CD//OE,矛盾.
考點(diǎn):直線與平面、平面與平面垂直的判定定理;幾何體的體積
點(diǎn)評(píng):解決立體幾何的題目,若幾何體是規(guī)則的圖形,則可建立空間直角坐標(biāo)系,用向量去解決問題較方便。
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