Question

已知四邊形ABCD滿足，E是BC的中點(diǎn)，將△BAE沿AE翻折成，F(xiàn)為的中點(diǎn)．
（1）求四棱錐的體積；
（2）證明：；
（3）求面所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

（1）；（2）證明過(guò)程詳見解析；（3）．

試題分析：本題主要考查面面垂直、線面垂直、錐體的體積、線面平行、二面角、向量法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力．第一問，由已知條件知，△ABE為等邊三角形，所以取AE中點(diǎn)，則，由面面垂直的性質(zhì)得B₁M⊥面AECD，所以是錐體的高，最后利用錐體的計(jì)算公式求錐體的體積；第二問，連結(jié)DE交AC于O，由已知條件得AECD為棱形，O為DE中點(diǎn)，在中，利用中位線，得，再利用線面平行的判定得面ACF；第三問，根據(jù)題意，觀察出ME，MD，兩兩垂直，所以以它們?yōu)檩S建立空間直角坐標(biāo)系，得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)以及相關(guān)向量的坐標(biāo)，利用向量法中求平面的法向量的方法求出平面和平面的法向量，最后利用夾角公式求夾角的余弦．
（1）取AE的中點(diǎn)M，連結(jié)B₁M，因?yàn)锽A=AD=DC=BC=a，△ABE為等邊三角形，則B₁M=，又因?yàn)槊鍮₁AE⊥面AECD，所以B₁M⊥面AECD，
所以        4分
（2）連結(jié)ED交AC于O，連結(jié)OF，因?yàn)锳ECD為菱形，OE=OD所以FO∥B₁E，
所以。     7分

(3)連結(jié)MD，則∠AMD=，分別以ME,MD,MB₁為x,y,z軸建系，則,

,,,所以1，，,,設(shè)面ECB₁的法向量為，，
令x="1," ，同理面ADB₁的法向量為
， 所以，
故面所成銳二面角的余弦值為．    12分