Question

已知函數f （x）=-

1

3

ax³+

1

2

x²+（a-1）x-

1

6

（x＞0），（a∈R）．
（Ⅰ）當0＜a＜

1

2

時，討論f （x）的單調性；
（Ⅱ）若f （x）在區(qū)間（a，a+1）上不具有單調性，求正實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出原函數的導函數，因式分解后根據a的范圍判斷導函數在（0，1）、（

1

a

-1，+∞）、（1，

1

a

-1）內的符號，從而得到原函數在這三個區(qū)間內的單調性；
（Ⅱ）f （x）在區(qū)間（a，a+1）上不具有單調性，等價于f （x）在區(qū)間（a，a+1）內至少有一個極值點．根據（Ⅰ）中求出的導函數，分a=

1

2

、a≥1和0＜a＜1且a≠

1

2

三種情況討論函數f （x）在區(qū)間（a，a+1）上的單調性及有極值時的a的范圍．

解答：解：（Ⅰ） f （x）的定義域為（0，+∞）．
由f （x）=-

1

3

ax³+

1

2

x²+（a-1）x-

1

6

（x＞0），
得：f'（x）=-ax²+x+a-1=-a（x-1）[x-（

1

a

-1）]．
當0＜a＜

1

2

時，

1

a

-1＞1，
∴當x∈（0，1）時，f'（x）=-a（x-1）[x-（

1

a

-1）]＜0，
當x∈（

1

a

-1，+∞）時，f'（x）=-a（x-1）[x-（

1

a

-1）]＜0，
當x∈（1，

1

a

-1）時，f'（x）=-a（x-1）[x-（

1

a

-1）]＞0．
∴f （x）=-

1

3

ax³+

1

2

x²+（a-1）x-

1

6

在（0，1），（

1

a

-1，+∞）遞減；在（1，

1

a

-1）遞增；
（Ⅱ） f （x）在區(qū)間（a，a+1）上不具有單調性等價于f （x）在區(qū)間（a，a+1）內至少有一個極值點．
①當a=

1

2

時，f′（x）=-

1

2

（x-1）²≤0⇒f （x）在（0，+∞）上遞減，不合題意； 
②當a≥1時，f′（x）=0的兩根為x₁=1，x₂=

1

a

-1，∵x₁，x₂∉（a，a+1），故不合題意；
③當0＜a＜1，且a≠

1

2

時，f （x）在區(qū)間（a，a+1）上不具有單調性等價于：a＜1＜a+1或a＜

1

a

-1＜a+1
解a＜1＜a+1得：0＜a＜1．
解a＜

1

a

-1＜a+1得：

2

-1＜a＜

5 -1

2

．
∵0＜a＜1，且a≠

1

2

，∴0＜a＜1，且a≠

1

2

．
綜上可知，所求a的取值范圍是（0，

1

2

）∪（

1

2

，1）．

點評：本題主要考查導函數的正負與原函數的單調性之間的關系，即當導函數大于0時原函數單調遞增，當導函數小于0時原函數單調遞減，考查了函數在給定區(qū)間內不是單調函數的條件及運用該條件求解參數取值范圍的方法，此題屬難題．