Question

（2012•棗莊一模）

∫

1 0

4-x2

dx=

3

2

+

π

3

．

Answer 1

分析：[解法一]令x=2cosα，則f（x）=

4-x2

=2sinα，α∈[0，π]．原積分可化為

∫

π 3 π 2

2sinαd(2cosα)，利用積分公式化簡并求出原函數(shù)，再代入數(shù)據(jù)即可得到原式的值．
[解法二]作出函數(shù)y=

4-x2

的圖象，可得所求積分是函數(shù)圖象位于[0，1]的曲線在x軸投影所成的面積，利用含有30°角直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合扇形面積公式求出圖中陰影部分的面積，即可得到本題的積分值．

解答：解：[解法一]令x=2cosα，則f（x）=

4-x2

=2sinα，α∈[0，π]
∴

∫

1 0

4-x2

dx=

∫

π 3 π 2

2sinαd(2cosα)=2

∫

π 3 π 2

(cos2α-1)dα
=2（

1

2

sin2α-α+C）

|

π 3 π 2

  （其中C為常數(shù)）
=2（

1

2

sin

2π

3

-

π

3

+C）-2（

1

2

sinπ-

π

2

+C）=

3

2

+

π

3

[解法二]令y=

4-x2

，得函數(shù)的圖象是以原點為圓心，
半徑為2的圓的上半圓，
如圖所示，

∫

1 0

4-x2

dx表示函數(shù)圖象位于[0，1]上的曲線在x軸投影所成的面積
∵Rt△OBC中，OC=1，OB=2
∴BC=

2 2+1 2

=

3

，∠BOC=

π

3

，得∠AOB=

π

2

-

π

3

=

π

6

∵S=S_△OBC+S_扇形AOB=

1

2

×1×

3

+

1

2

×2×

π

6

=

3

2

+

π

3

故答案為：

3

2

+

π

3

點評：本題通過求一個定積分的值，考查了定積分的公式與運算法則、定積分的幾何意義和三角函數(shù)的公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．