已知函數(shù)f(x)=log
1
2
2x-1
2x+1
（x∈（-∞，-
1
2
)∪(
1
2
，（
1
2
，+∞））．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）指出函數(shù)f（x）在區(qū)間(
1
2
，+∞）上的單調(diào)性，并加以證明．
（1）∵函數(shù)的定義域（-∞，-
1
2
)∪(
1
2
∪（
1
2
，+∞）關(guān)于原點對稱．
且f(-x)=log
1
2
-2x-1
-2x+1
=log
1
2
2x+1
2x-1
=log
1
2
(
2x-1
2x+1
)-1=-f（x），
所以函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．
（2）設(shè)g(x)=
2x-1
2x+1
=1-
2
2x+1
．設(shè)-m＜x1＜x2，則g（x1）-g（x2）=-4•
x2-x1
(2x1+1)(2x2+1)
，
因為m＜0，
1
2
＜x1＜x2，所以x2-x1＞0，2x1+1＞0，2x2+1＞0，
所以-4•
x2-x1
(2x1+1)(2x2+1)
＜0，即g（x1）＜g（x2），
因為y=log
1
2
x是減函數(shù)，所以log
1
2
g(x1)＞log
1
2
g(x2)，即f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在(
1
2
，+∞）上是減函數(shù)．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數(shù)a，b的值：
（2）當(dāng)a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式和切線l的方程；
（2）當(dāng)x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點的橫坐標(biāo)為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當(dāng)k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當(dāng)1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數(shù)．

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