Question

已知

a

=(cosx，sinx)，

b

=(cosx+

3

sinx，

3

cosx-sinx)，f(x)=

a

•

b

（1）求f（x）的解析式及其最小正周期；
（2）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=

a

•

b

=cosx(cosx+

3

sinx)+sinx(

3

cosx-sinx)=cos2x+2

3

sinxcosx-sin2x=2sin(2x+

π

6

)，可求T
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，解不等式可求單調(diào)增區(qū)間

解答：解：（1）∵f（x）=

a

•

b

=cosx(cosx+

3

sinx)+sinx(

3

cosx-sinx)
=cos2x+2

3

sinxcosx-sin2x
=cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)，
∴T=π
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z
則-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ，k∈Z
所以單調(diào)增區(qū)間為[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]，k∈Z

點(diǎn)評(píng)：本題以向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示為載體，主要考查了三角公式的二倍角公式及輔助角公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用，及正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．