Question

設(shè)f（x）=|2x-1|+|1-x|．
（1）解不等式f（x）≤3x+4；
（2）對任意的x，不等式f（x）≥（m²-3m+3）•|x|恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,絕對值不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）分情況將原不等式絕對值符號去掉，然后求解；
（2）分x=0與x≠0兩種情況研究：當(dāng)x=0時，顯然成立；當(dāng)x≠0時，兩邊同除以|x|，然后求出左邊的最小值，解關(guān)于m的不等式即可．

解答： 解：（1）當(dāng)x≤

1

2

時，原不等式可化為-（2x-1）-（x-1）≤3x+4，解得x≥-

1

3

，故此時-

1

3

≤x≤

1

2

；
當(dāng)

1

2

＜x≤1時，原不等式可化為2x-1-（x-1）≤3x+4，解得x≥-2，故此時

1

2

＜x≤1；
當(dāng)x＞1時，原不等式可化為2x-1+x-1≤3x+4，即-2≤4，顯然成立，故此時x＞1．
綜上可得，原不等式的解集為{x|x≥-

1

3

}．
（2）當(dāng)x=0時，原不等式為2≥0，顯然恒成立；
當(dāng)x≠0時，原不等式兩邊同除以|x|，則不等式可化為：
|2-

1

x

|+|

1

x

-1|≥m2-3m+3恒成立．
因為|2-

1

x

|+|

1

x

-1|≥|(2-

1

x

)+(

1

x

-1)|=1．
所以要使原式恒成立，只需m²-3m+3≤1即可，即m²-3m+2≤0．
解得1≤m≤2．

點評：本題考查了絕對值不等式的解法以及不等式恒成立問題的解題思路，一般的不等式恒成立問題要轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解．本題還考查了分類討論思想的應(yīng)用．