Question

已知函數(shù)C的離心率為

2

2

，且橢圓C的左焦點F₁與拋物線y²=-4x的焦點重合．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）到一斜率存在的動直線l的距離之距離之積為1，試問直線l是否與橢圓C一定有唯一的公共點？并說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標準方程

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）求出拋物線的焦點，即有橢圓的c=1，再由離心率公式，可得c，再由a，b，c的關(guān)系，可得b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+p，運用點到直線的距離公式，得到方程，討論去絕對值，再由直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去y，運用判別式即可判斷．

解答： 解：（Ⅰ）由于拋物線y²=-4x的焦點為（-1，0），
設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
易知c=1，又

c

a

=

2

2

，得a=

2

，于是有b=

a2-c2

=1
故橢圓C的標準方程為

x2

2

+y2=1．                                                  
（Ⅱ）設(shè)直線l的方程為y=kx+p，即kx-y+p=0，
于是點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）到直線L的距離之積為

|-k+p|

1+k2

•

|k+p|

1+k2

=1，即

|p2-k2|

1+k2

=1，即|p²-k²|=1+k²
若p²-k²=-k²-1，則p²=-1，矛盾，舍去．
若p²-k²=1+k²，則p²=1+2k²，
由

y=kx+p x2+2y2=2

，消去y，可得（1+2k²）x²+4px+2p²-2=0，
所以判別式△=16k²p²-4（1+2k²）（2p²-2）=8（1+2k²-p²）=8（p²-p²）=0，
即直線l與橢圓C相切，一定有唯一的公共點．

點評：本題考查橢圓方程和性質(zhì)，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用判別式判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，考查點到直線的距離公式，考查運算能力，屬于中檔題．