Question

對于集合{a₁，a₂…，a_n}和常數(shù)a₀，定義集合{a₁，a₂，…，a_n}相對a₀的“正弦方差W”：W=

sin2(a1-a0)+sin2(a2-a0)+…+sin2(an-a0)

n

．
設(shè)集合A={

π

4

，

7π

12

，

11π

12

}，證明集合A相對于任何常數(shù)θ的“正弦方差”μ是一個與常數(shù)θ無關(guān)的定值

Answer 1

分析：先根據(jù)題意表示出正弦方差μ，進而利用二倍角公式把正弦的平方轉(zhuǎn)化成余弦的二倍角，進而利用兩角和公式進一步化簡整理，求得結(jié)果為

1

6

，為常數(shù)，原式得證．

解答：證明：集合A相對于任何常數(shù)θ的“正弦方差”μ
=

sin2( π 4 - θ)+sin2( 7π 12 -θ)+sin2(  11π 12 - θ )

3

=

1 2 - 1 2 cos ( π 2 -2θ)+ 1 2 - 1 2 cos (   7π 6 -2θ)+ 1 2 cos( 5π 6 -2 θ )- 1 2

3

=

1-sin2θ+cos π 6 cos2θ+sin π 6 sin2θ-cos π 6 cos2θ+sin π 6 sin2θ

6

=

1

6

，是一個與常數(shù)θ無關(guān)的定值．
原式得證．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)中二倍角，兩角和公式的應(yīng)用．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．