Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABED是矩形，四邊形ADGC是梯形，AD⊥平面DEFG，EF∥DG，∠EDG=120°．
（Ⅰ）證明：FG⊥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角A-CG-F的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取DG的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，由已知得四邊形DEFM是平行四邊形，從而FG⊥DF，由此能證明FG⊥面ADF．
（Ⅱ）取EF的中點(diǎn)H，連結(jié)DH，以D為原點(diǎn)，DH為x軸，DG為y軸，DA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-CG-F的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：取DG的中點(diǎn)M，連結(jié)FM，則EF=DM，
∵EF∥DG，∴四邊形DEFM是平行四邊形，
∴MF=DE=

1

2

DG=1，
∴△DFG是直角三角形，∴FG⊥DF，
又AD?平面ADF，DF?平面ADF，AD∩DF=D，
∴FG⊥面ADF．
（Ⅱ）解：取EF的中點(diǎn)H，連結(jié)DH，由（1）知DH⊥EF，
又EF∥DG，∴DH⊥DG，
又AD⊥平面DEFG，∴AD⊥DH，AD⊥DG，
以D為原點(diǎn)，DH為x軸，DG為y軸，DA為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），F(xiàn)（

3

2

，

1

2

，0），G（0，2，0），
C（0，1，1），

FG

=（-

3

2

，

3

2

，0），

GC

=（0，-1，1），
設(shè)平面FGC的法向量

n1

=（x，y，z），
則

n • FG =- 3 2 x+ 3 2 y=0 n • GC =-y+z=0

，取x=

3

，得

n

=（

3

，1，1），
又平面ACG的法向量

m

=（1，0，0），
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n |•| m |

=

15

5

．
∴二面角A-CG-F的余弦值為

15

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．