Question

8．若命題“?x∈R使ax²-2ax-3＞0”是假命題，則實數a的取值范圍是[-3，0]．

Answer 1

分析 若命題“?x∈R使ax²-2ax-3＞0”是假命題，則命題“?x∈R，ax²-2ax-3≤0是真命題”是真命題，分當a=0時和當a≠0時兩種情況，求出滿足條件的a的范圍，綜合討論結果，可得答案

解答 解：若命題“?x∈R，ax²-2ax-3＞0”是假命題，
則命題“?x∈R，ax²-2ax-3≤0“是真命題，
當a=0時，顯然成立；
當a≠0時，ax²-2ax-3≤0恒成立須滿足$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{△=4{a}^{2}+12a≤0}\end{array}\right.$，
解得：-3≤a＜0，
綜上所述滿足條件的實數a的取值范圍是[-3，0]，
故答案為：[-3，0]

點評 本題考查的知識點是特稱命題的否定，不等式恒成立問題，是邏輯與不等式的綜合應用，難度中檔．