Question

定義數(shù)列{a_n}：a₁=1，a₂=2，且對任意正整數(shù)n，有（-1）ⁿ⁺¹+1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式與前n項和S_n；
（2）問是否存在正整數(shù)m，n，使得S_2n=mS_2n-1？若存在，則求出所有的正整數(shù)對（m，n）；若不存在，則加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）由數(shù)列遞推式可得數(shù)列{a_2k-1}是首項a₁=1，公差為2等差數(shù)列；數(shù)列{a_2k}是首項a₂=2，公比為3的等比數(shù)列，由此可得數(shù)列{a_n}的通項公式；對任意正整數(shù)k，先分組求和S_2k，進(jìn)而可得S_2k-1=S_2k-a_2k，從而可得數(shù)列{a_n}的前n項和；
（2）若S_2n=mS_2n-1，則3ⁿ+n²-1=m（3^n-1+n²-1），從而可求m=1，2，3，分類討論，即可求得符合條件的正整數(shù)對（m，n）．
解答：解：（1）對任意正整數(shù)k，（-1）^2k+1=a_2k-1+2，
（-1）^2k+1+1=3a_2k．（1分）
所以數(shù)列{a_2k-1}是首項a₁=1，公差為2等差數(shù)列；數(shù)列{a_2k}是首項a₂=2，公比為3的等比數(shù)列．（2分）
∴對任意正整數(shù)k，a_2k-1=2k-1，a_2k=2×3^k-1．（3分）
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n==（4分）
∴對任意正整數(shù)k，S_2k=+=3^k+k²-1，S_2k-1=S_2k-a_2k=3^k-1+k²-1（6分）
∴數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n==（7分）
（2）若S_2n=mS_2n-1，則3ⁿ+n²-1=m（3^n-1+n²-1）
∴3^n-1（3-m）=（m-1）（n²-1），
∴m≤3，∴m=1，2，3（8分）
①當(dāng)m=1時，3^n-1（3-m）＞0=（m-1）（n²-1），即S_2n≠mS_2n-1；（9分）
②當(dāng)m=3時，3^n-1（3-3）=（2-1）（n²-1），∴n=1，即S₂，=3S₁；（10分）
③當(dāng)m=2時，3^n-1=n²-1，則存在k₁＜k₂，k₁，k₂∈N，使得n-1=3^k₁，n+1=3^k2，k₁+k₂=n-1
從而3^k2-3^k1=3^k1（3^k2-k1-1）=2，得3^k1=1，3^k2-k1-1=2，
∴k₁=0，k₂-k₁=1，得n=2，即S₄=2S₃．（13分）
綜上可知，符合條件的正整數(shù)對（m，n）只有兩對：（2，2）與（3，1）（14分）
點評：本題考查了等差、等比數(shù)列的通項公式、求和公式，數(shù)列的分組求和等知識，考查了學(xué)生變形的能力，推理能力，探究問題的能力，分類討論的數(shù)學(xué)思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想以及創(chuàng)新意識．