Question

已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為S_n，且滿(mǎn)足2S_n＝＋n－4.
(1)求證{a_n}為等差數(shù)列；
(2)求{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析  （2）a_n＝n＋2.

解：(1)證明：當(dāng)n＝1時(shí)，
有2a₁＝＋1－4，即－2a₁－3＝0，
解得a₁＝3(a₁＝－1舍去)．
當(dāng)n≥2時(shí)，有2S_n－1＝＋n－5，
又2S_n＝＋n－4，
兩式相減得2a_n＝－＋1，
即－2a_n＋1＝，
也即(a_n－1)²＝，
因此a_n－1＝a_n－1或a_n－1＝－a_n－1.
若a_n－1＝－a_n－1，則a_n＋a_n－1＝1，
而a₁＝3，
所以a₂＝－2，這與數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)相矛盾，
所以a_n－1＝a_n－1，即a_n－a_n－1＝1，
因此{(lán)a_n}為等差數(shù)列．
(2)由(1)知a₁＝3，d＝1，所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n＝3＋(n－1)＝n＋2，即a_n＝n＋2.