Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²-2x-2a（a＞0）
（1）若f（x）在x∈[0，2]的最小值為-3，求a的值；
（2）若f（x）≤0，在x∈（1，3）內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）配方，根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，分類討論，利用f（x）在x∈[0，2]的最小值為-3，即可求a的值；
（2）f（x）≤0，在x∈（1，3）內(nèi)恒成立，等價于ax²-2x-2a≤0在x∈（1，3）內(nèi)恒成立，分類討論，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）f(x)=a(x-

1

a

)2-

1

a

-2a
①0≤

1

a

≤2，即a≥

1

2

時，f（x）_min=f（

1

a

）=-2a-

1

a

=-3，∴2a²-3a+1=0
∴a=

1

2

或a=1（舍去），∴a=

1

2

②

1

a

＞2，即0＜a＜

1

2

，f（x）_min=f（2）=-4a-4-2a=-3，∴2a=1，∴a=

1

2

（舍去）；
（2）f（x）≤0，在x∈（1，3）內(nèi)恒成立，等價于ax²-2x-2a≤0在x∈（1，3）內(nèi)恒成立，則
①

a＞0 f(1)=a-2-2a≤0 f(3)=9a-6-2a≤0

，∴0＜a≤

6

7

②a=0時，不成立；
③

a＜0 f(1)=a-2-2a≤0

，∴-2≤a＜0
綜上可知實數(shù)a的取值范圍為-2≤a＜0或0＜a≤

6

7

．

點評：本題考查二次函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查恒成立問題，恰當(dāng)分類是關(guān)鍵．