Question

判斷下列函數(shù)在給定區(qū)間上是否存在零點(diǎn)．
（1）f（x）=x³+1；
（2）f（x）=

1

x

-x，x∈（0，1）．

Answer 1

分析：（1）令f（x）=x³+1=0，解方程得x=-1，由此可得函數(shù)在給定區(qū)間上存在零點(diǎn)；
（2）方法一：令

1

x

-x=0解得x的值不在定義域內(nèi)，故函數(shù)不存在零點(diǎn)；
    方法二：令y₁=

1

x

，y₂=x，在同一平面直角坐標(biāo)系中，作出它們的圖象，從圖中可以看出當(dāng)0＜x＜1時(shí)，兩圖象沒有交點(diǎn)．
    故相應(yīng)的函數(shù)沒有零點(diǎn)．

解答：解：（1）∵f（x）=x³+1=（x+1）（x²-x+1），
令f（x）=0，即（x+1）（x²-x+1）=0，∴x=-1，
∴f（x）=x³+1有零點(diǎn)-1．
（2）法一：令f（x）=0得

1

x

-x=0，

1-x2

x

=0，
∴x=±1，而±1∉（0，1），
∴f（x）=

1

x

-x，x∈（0，1）不存在零點(diǎn)．
法二：令y₁=

1

x

，y₂=x，在同一平面直角坐標(biāo)系中，作出它們的圖象，從圖中可以看出當(dāng)0＜x＜1時(shí)，兩圖象沒有交點(diǎn)．
故f（x）=

1

x

-x，x∈（0，1）沒有零點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的零點(diǎn)的性問題，借用了零點(diǎn)與方程根的關(guān)系轉(zhuǎn)化為求方程的根，有根則函數(shù)有零點(diǎn)，方法二用作圖法確定函數(shù)是否有零點(diǎn)．