Question

已知函數f（x）=x²+k
（1）k=-1時，設，求h（x）=[f（x）]²-6f（x），x∈[-2，1]的最大值．
（2）若函數g（x）=

ex

f(x)

，且g（x）在區(qū)間（2，3）上不單調，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把k=-1代入f（x）中，確定出f（x）的解析式，設t=f（x），根據x的范圍求出f（x）的值域，即得到t的范圍，然后把h（x）中的
f（x）化為t后得到關于t的二次函數，根據t的范圍即可得到y(tǒng)的范圍，即得到y(tǒng)的最大值；
（2）把f（x）的解析式代入g（x）=

ex

f(x)

中，求出g（x）的導函數，因為g（x）在區(qū)間（2，3）上不單調，所以令導函數等于0得到的方程在區(qū)間（2，3）上有根，且不能有兩個相等的根，列出關于k的不等式組，求出不等式組的解集即可得到k的取值范圍．

解答：解：（1）當k=-1時，f（x）=x²-1，又x∈[-2，1]，
故t=f（x）=x²-1∈[-1，3]，
由h（x）=[f（x）]²-6f（x），得y=t²-6t=（t-3）²-9∈[-9，7]，
也即h（x）的最大值為7．此時x=0；
（2）g(x)=

ex

x2+k

，g′(x)=

ex(x2-2x+k)

(x2+k)2

，
因為g（x）在區(qū)間（2，3）上不單調，
故g′(x)=

ex(x2-2x+k)

(x2+k)2

=0，
在區(qū)間（2，3）上有根，且不能有兩個相等的根．
令g′（x）=0，有x²-2x+k=0，
則

4-4+k＜0 9-6+k＞0

，
解得-3＜k＜0．

點評：此題考查學生掌握二次函數的圖象與性質，會利用導數研究函數的單調性，是一道綜合題．