Question

6．對于任意實數(shù)a，b，定義max{a，b}=$\left\{\begin{array}{l}{a}&{a≥b}\\&{a＜b}\end{array}\right.$，已知在[-4，4]上的奇函數(shù)f（x）滿足：當0＜x≤4時，f（x）=max{2^x-1，2-x}，若方程f（x）-mx²+1=0恰有兩個根，則m的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{7}{8}$，0）∪（$\frac{{e}^{2}1{n}^{2}2}{4}$，1]
• B． [-$\frac{7}{8}$，0）∪（$\frac{1}{e}$，1]
• C． （-1，-$\frac{7}{8}$）∪（$\frac{{e}^{2}1{n}^{2}2}{4}$，2]
• D． （-1，0）∪（$\frac{1}{e}$，1]

Answer 1

分析 先根據(jù)條件得出函數(shù)在（0，4]上的解析式f（x）$\left\{\begin{array}{l}{2-x，0＜x＜1}\\{2^x-1，1≤x≤4}\end{array}\right.$，再運用分類討論和數(shù)形結合的方法確定零點和m的范圍．

解答 解：根據(jù)定義，當x∈（0，4]時，f（x）=max{2^x-1，2-x}=$\left\{\begin{array}{l}{2-x，0＜x＜1}\\{2^x-1，1≤x≤4}\end{array}\right.$，
方程f（x）-mx²+1=0化為f（x）=mx²-1，記g（x）=mx²-1，分類討論如下：
①當m＞0時，g（x）的圖象為開口向上的拋物線，
根據(jù)幾何關系，g（x）的圖象只與f（x）圖象在y軸右邊有公共點，如下圖：
根據(jù)題意，方程：2^x-1=mx²-1在（1，4]有兩個交點，
分離參數(shù)得，m=$\frac{2^x}{x^2}$=h（x），令h'（x）=$\frac{2^x（xln2-2）}{x^3}$=0，解得x=$\frac{2}{ln2}$∈（2，3），
顯然，當x=$\frac{2}{ln2}$時，h（x）_min=h（$\frac{2}{ln2}$）=$\frac{e^2ln^22}{4}$，且h（1）=2，h（2）=1，
要使原方程有兩個實根，則$\frac{e^2ln^22}{4}$＜m≤1；
幾何意義：m=$\frac{e^2ln^22}{4}$時，兩圖象相切；m=1時，g（x）圖象過點（4，15）．
②當m＜0時，g（x）的圖象為開口向下的拋物線，
根據(jù)幾何關系，g（x）的圖象只與f（x）圖象在y軸左邊有公共點，
即方程f（x）-mx²+1=0在[-4，0）恰有兩根，
若x=-4為方程的根，則f（-4）-16m+1=0，解得m=-$\frac{7}{8}$，
所以，由圖可知，m∈[-$\frac{7}{8}$，0），
綜合以上討論得，m∈[-$\frac{7}{8}$，0）∪（$\frac{e^2ln^22}{4}$，1]，
故選：A．

點評 本題主要考查了函數(shù)零點的判定，涉及奇函數(shù)與分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，運用了換元法，分離參數(shù)法和數(shù)形結合的解題思想，屬于難題．