(2012•安慶二模)如圖所示,多面體FE-ABCD中,ABCD和ACFE都是直角梯形,DC∥AB,AE∥CF,平面ACFE⊥平面ABCD,AD=DC=CF=2AE=
1
2
AB
,∠ACF=∠ADC=
π
2

(I)求證:BC⊥平面ACFE;
(II)求二面角B-FE-D的平面角的余弦值.
分析:(Ⅰ)證明BC⊥AC,利用平面ACFE⊥平面ABCD,且平面ACFE∩平面ABCD=AC,可證BC⊥平面ACFE;
(II)建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量的運(yùn)算求出平面DEF、平面BEF的一個(gè)法向量,進(jìn)而由兩個(gè)法向量求出二面角余弦值的大。
解答:(Ⅰ)證明:在直角梯形ABCD中,∵∠ADC=
π
2
,又AD=DC=
1
2
AB,∴BC⊥AC,…(2分)
又∵平面ACFE⊥平面ABCD,且平面ACFE∩平面ABCD=AC,
∴BC⊥平面ACFE;…(4分)
(Ⅱ)解:以A為原點(diǎn),分別以AB、AD、AE為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)AE=a,則D(0,2a,0),B(4a,0,0),E(0,0,a),F(xiàn)(2a,2a,2a),…(6分)
設(shè)
n1
=(x1,y1,z1),
n2
=(x2,y2,z2)
,
n1
平面BEF,
n2
平面DEF,
EB
=(4a,0,-a),
EF
=(2a,2a,a)
DE
=(0,-2a,a)

n1
EF
=2ax1+2ay1+az1=0
n1
EB
=4ax1-az1=0
,令x1=1,∴
x1=1
y1=-3
z1=4
,
n1
=(1,-3,4)
…(8分)
n2
EF
=2ax2+2ay2+az2=0
n2
DE
=-2ay2+az2=0
,令y2=1,∴
x2=-2
y2=1
z2=2
,∴
n2
=(-2,1,2)
…(9分)
cos<
n1
,
n2
>=
n1
n2
|
n1
|•|
n2
|
=
26
26

故所求二面角B-EF-D的平面角的余弦值是
26
26
.…(12分)
點(diǎn)評(píng):解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征,進(jìn)而便于幾何體的線面關(guān)系以及建立坐標(biāo)系利用向量解決空間角與空間距離的問(wèn)題
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1+7i
i
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7
cosφ
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3x
-1)n
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-160x
-160x

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