Question

2．已知集合A={x|x=m²-n²，m、n∈Z}
（1）判斷8，9，10是否屬于集合A；
（2）已知集合B={x|x=2k+1，k∈Z}，證明：“x∈A”的充分非必要條件是“x∈B”；
（3）寫出所有滿足集合A的偶數(shù)．

Answer 1

分析 （1）將x=8，9，10分別代入關(guān)系式x=m²-n²，若滿足關(guān)系式，則屬于A，若不滿足關(guān)系式，則不屬于A，即可得答案，
（2）根據(jù)已知中集合A的定義，根據(jù)集合元素與集合關(guān)系的判斷，我們推證奇數(shù)x∈A可得答案．
（3）m2-n2=（m+n）（m-n）成立，當(dāng)m，n同奇或同偶時(shí)，m-n，m+n均為偶數(shù)；當(dāng)m，n一奇，一偶時(shí)，m-n，m+n均為奇數(shù)．由此能求出所有滿足集合A的偶數(shù)．

解答 解：（1）∵8=3²-1，9=5²-4²，∴8∈A，9∈A，
假設(shè)10=m²-n²，m，n∈Z，則（|m|+|n|）（|m|-|n|）=10，且|m|+|n|＞|m|-|n|＞0，
∵10=1×10=2×5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{|m|+|n|=10}\\{|m|-|n|=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{|m|+|n|=5}\\{|m|-|n|=2}\end{array}\right.$，
顯然均無整數(shù)解，
∴10∉M，
∴8∈A，9∈A，10∉A，
（2）∵集合B={x|x=2k+1，k∈Z}，則恒有2k+1=（k+1）²-k²，
∴2k+1∈A，
∴即一切奇數(shù)都屬于A，
又∵8∈A，
∴x∈A”的充分非必要條件是“x∈B”，
（3）集合A={x|x=m²-n²，m、n∈Z}，
m2-n2=（m+n）（m-n）成立，①當(dāng)m，n同奇或同偶時(shí)，m-n，m+n均為偶數(shù)，
（m-n）（m+n）為4的倍數(shù)，
②當(dāng)m，n一奇，一偶時(shí)，m-n，m+n均為奇數(shù)，
∴（m-n）（m+n）為奇數(shù)，
綜上所有滿足集合A的偶數(shù)為4k，k∈Z．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查元素與集合關(guān)系的判斷、奇數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．