Question

已知雙曲線C與橢圓有相同的焦點，實半軸長為．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線與雙曲線C有兩個不同的交點A和B，且（其中O為原點），求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)雙曲線的方程為，
由題意知，，∴b²=c²-a²=1，解得b=1，
故雙曲線方程為．
（2）將代入，得
由得，且k²＜1，，，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由，
得==，得．
又k²＜1，∴，解得，
所以k的取值范圍為（-1，-）∪（，1）．
分析：（1）設(shè)雙曲線的方程為，由已知易求a，c，根據(jù)a，b，c的平方關(guān)系即可求得b值；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由，可得=＞2，聯(lián)立方程組消掉y，根據(jù)韋達定理即可得到關(guān)于k的不等式，注意判別式大于0，解出即得k的范圍．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查向量數(shù)量積運算及韋達定理的應(yīng)用，考查學(xué)生的運算能力及對問題轉(zhuǎn)化能力．