Question

在△ABC中．
（1）已知sinA=cosBcosC，求證：tanC+tanB=1；
（2）求證：a²-2ab cos（60°+C）=b²-2bc cos（60°+A）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)A=B+C把sinA轉(zhuǎn)換成sin（A+B），進(jìn)而利用兩角和公式化簡(jiǎn)整理，等式兩邊同時(shí)除以cosBcosC，即可證明原式．
（2）先利用兩角和公式對(duì)要證的結(jié)論化簡(jiǎn)整理可得a²-abcosC+ab

3

sinC=c²-bccosA+bc

3

sinA 再利用余弦定理分別把cosC，cosA代入整理asinC=csinA，根據(jù)正弦定理可知在三角形中此等式恒成立，進(jìn)而使原式得證．

解答：解：（1）因?yàn)樵谌�角形ABC中，sinA=cosBcosC
∴sin（B+C）=cosBcosC
即sinBcosC+cosBsinC=cosBcosC
等式兩邊同時(shí)除以cosBcosC，得

sinB

cosB

+

sinC

cosC

=1
即tanB+tanC=1，原式得證．
（2）證明：要使a²-2ab cos（60°+C）=b²-2bc cos（60°+A）．
需a²-2ab（

1

2

cosC-

1

2

3

sinC）=c²-2bc（

1

2

cosA-

3

2

sinA）
需a²-abcosC+ab

3

sinC=c²-bccosA+bc

3

sinA
需a²-

1

2

（a²+b²-c²）+ab

3

sinC=c²-

1

2

（b²+c²-a²）+bc

3

sinA
需a²-b²+c²+2ab

3

sinC=c²-b²+a²+2bc

3

sinA
需asinC=csinA
在三角形ABC中，根據(jù)正弦定理可知

a

sinA

=

c

sinC

即asinC=csinA恒成立，
所以等式得證

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等式的證明，涉及了正弦定理，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用等．考查了學(xué)生綜合分析問題和演繹推理的能力．