Question

在數(shù)列{a_n}中，（c為常數(shù)，n∈N*，n≥2），又a₁，a₂，a₅成公比不為l的等比數(shù)列．
（I）求證：{}為等差數(shù)列，并求c的值；
（Ⅱ）設(shè){b_n}滿足，證明：數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意可得a_n≠0，由已知可得可證數(shù)列{}是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的 通項(xiàng)公式可求，進(jìn)而可求a_n，然后由a₁，a₂，a₅成公比不為l的等比數(shù)列可求c
（II）由（I）可求a_n，進(jìn)而可求b_n，利用裂項(xiàng)法可求S_n，即可證明
解答：（I）證明：若a_n=0，（n≥2）則，則a_n-1=0與a₁=1矛盾
∴a_n≠0
∵
∴
∴數(shù)列{}是以c為公差，以=1為首項(xiàng)的等差數(shù)列
∴
∴
∴
∵又a₁，a₂，a₅成公比不為l的等比數(shù)列
∴=a₁a₅
即
解得c=0或c=2
當(dāng)c=0時(shí)，a₁=a₂=a₅，故舍去
∴c=2
（II）∵
∴，=
當(dāng)n=1時(shí)，
當(dāng)n≥2時(shí)，（1）
=（1+）=1-=
點(diǎn)評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列求解通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用及裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，本題中的裂項(xiàng)求和具有一定的難度