Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²-a²x+c（a＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2，且f（x）的極小值為時(shí)，求c；
（Ⅱ）若f（|x|）≥c-5對(duì)x∈[-2，2]恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，研究函數(shù)的極值點(diǎn)，通過(guò)比較與端點(diǎn)的大小從而確定出極小值，進(jìn)而求出變量c的值；
（2）根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，把區(qū)間范圍縮小至[0，2]，求函數(shù)在[0，2]上的最小值，使最小值大于等于c-5，從而求出a的范圍．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x³+2x²-4x+c，則f^′（x）=3x²+4x-4=（3x-2）（x+2），由，由，故f（x）增區(qū)間為，減區(qū)間為，函數(shù)的極小值為，
∴c=．
（Ⅱ）由于y=f（|x|）為偶函數(shù)，要使x∈[-2，2]時(shí)時(shí)f（|x|）≥c-5恒成立，只需當(dāng)x∈[0，2]時(shí)f（x）≥c-5
而當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f^′（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）（x+a），當(dāng)時(shí)，f（x）在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故知f（x）在[0，2]上的最小值為
則有∴0＜a≤3
當(dāng)時(shí)，f（x）在[0，2]上為減函數(shù)，∴f（x）在[0，2]上的最小值為f（2）
則有此時(shí)a不存在．
綜上可知a的取值范圍是（0，3]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)極值，函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，同時(shí)綜合運(yùn)用了函數(shù)的性質(zhì)，解答不等式恒成立時(shí)體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想．