Question

等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知對(duì)任意的n∈N⁺，點(diǎn)（n，S_n）均在函數(shù)y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)的圖象上．
（Ⅰ）求r的值．
（Ⅱ）當(dāng)b=2時(shí)，記b_n=2（log₂a_n=1）（n∈N⁺），證明：對(duì)任意的，不等式成立

b1+1

b1

•

b2+1

b2

•…

bn+1

bn

＞

n+1

．

Answer 1

分析：本題考查的數(shù)學(xué)歸納法及數(shù)列的性質(zhì)．
（1）由已知中因?yàn)閷?duì)任意的n∈N⁺，點(diǎn)（n，S_n），均在函數(shù)y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)的圖象上．根據(jù)數(shù)列中an與Sn的關(guān)系，我們易得到一個(gè)關(guān)于r的方程，再由數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，即可得到r的值．
（2）將b=2代入，我們可以得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，再由bn=2（log₂a_n+1）（n∈n），我們可給數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可將不等式

b1+1

b1

•

b2+1

b2

•…

bn+1

bn

＞

n+1

進(jìn)行簡(jiǎn)化，然后利用數(shù)學(xué)歸納法對(duì)其進(jìn)行證明．

解答：解：（1）因?yàn)閷?duì)任意的n∈N⁺，點(diǎn)（n，S_n），
均在函數(shù)y=b^x+r（b＞0且b≠1，b，r均為常數(shù)的圖象上．
所以得S_n=bⁿ+r，當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=b+r，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=bⁿ+r-（b^n-1+r）=bⁿ-b^n-1=（b-1）b^n-1，
又因?yàn)閧a_n}為等比數(shù)列，所以r=-1，公比為b，a_n=（b-1）b^n-1
（2）當(dāng)b=2時(shí)，a_n=（b-1）b^n-1=2^n-1，b_n=2（log₂a_n+1）=2（log₂2^n-1+1）=2n
則

bn+1

bn

=

2n+1

2n

，
所以

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

=

3

2

•

5

4

•

7

6

…

2n+1

2n

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

=

3

2

•

5

4

•

7

6

…

2n+1

2n

＞

n+1

成立．
當(dāng)n=1時(shí)，左邊=

3

2

，右邊=

2

，
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

3

2

＞

2

，所以不等式成立．
假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立，
即

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

=

3

2

•

5

4

•

7

6

…

2k+1

2k

＞

k+1

成立
則當(dāng)n=k+1時(shí)，
左邊=

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bk+1

bk

•

bk+1+1

bk+1

=

3

2

•

5

4

•

7

6

…

2k+1

2k

•

2k+3

2k+2

＞

k+1

•

2k+3

2k+2

=

(2k+3)2 4(k+1)

=

4(k+1)2+4(k+1)+1 4(k+1)

=

(k+1)+1+ 1 4(k+1)

＞

(k+1)+1

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
由①、②可得不等式恒成立．

點(diǎn)評(píng)：數(shù)學(xué)歸納法常常用來(lái)證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對(duì)一切自然數(shù)n都成立．