Question

在平面直角坐標系中，以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．已知直線l上兩點M，N的極坐標分別為（2，0），(

2 3

3

， 

π

2

)，曲線C的參數方程

x=-1+2cosθ y=2sinθ

（θ為參數且0＜θ＜π）．
（1）設P為線段MN的中點，求直線OP的平面直角坐標方程；
（2）判斷直線l與曲線C的交點個數．

Answer 1

分析：（1）把直線l上兩點M，N的極坐標分別為（2，0），(

2 3

3

， 

π

2

)，化為直角坐標，得M（2，0），N（0，

2 3

3

），由此能求出直線OP的平面直角坐標方程．
（2）圓C方程化為普通方程是（x+1）²+y²=4，（y＞0），圓心到直線OP的距離d=

1

2

＜2，直線與圓相交，由此能判斷直線l與曲線C的交點個數．

解答：解：（1）∵直線l上兩點M，N的極坐標分別為（2，0），(

2 3

3

， 

π

2

)，
化為直角坐標為M（2，0），N（0，

2 3

3

），
∴MN中點的P坐標是(1， 

3

3

)，
∴直線OP的平面直角坐標方程是y=

3

3

x．…（5分）
（2）∵曲線C的參數方程

x=-1+2cosθ y=2sinθ

（θ為參數且0＜θ＜π），
∴圓C方程化為普通方程是（x+1）²+y²=4，（y＞0），…（7分）
圓心到直線OP的距離d=

1

2

＜2，
所以直線與圓相交，…（8分）
因為但是圓C的圖象只在x軸上方，直線經過第一和第三象限，
所以直線與圓交點只有在第一象限唯一一個．…（10分）

點評：本題考查直線的平面直角坐標方程的求法，考查直線與曲線的交點個數的判斷，解題時要認真審題，注意極坐標方程和參數方程的概念及轉化為普通方程的方法的合理運用．