Question

已知拋物線x²=2py（p＞0）與直線交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（I）當(dāng)k=1時(shí)，求線段AB的長；
（II）當(dāng)k在R內(nèi)變化時(shí)，求線段AB中點(diǎn)C的軌跡方程；
（III）設(shè)l是該拋物線的準(zhǔn)線．對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，l上是否存在點(diǎn)D，使得？如果存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：將知拋物線x²=2py（p＞0）與直線聯(lián)立．
（Ⅰ）當(dāng)k=1時(shí)，代入可求AB=4p；
（Ⅱ）設(shè)線段AB中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），則當(dāng)k變化時(shí)，，消去k，可得點(diǎn)C的軌跡方程．       
（Ⅲ）假設(shè)在l上存在一點(diǎn)，使，結(jié)合x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，y₁+y₂=2pk²+p，，可知對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，在l上存在點(diǎn)，使得．
解答：解：設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意得，∴x²-2pkx-p²=0，∴x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，∴y₁+y₂=2pk²+p，
（Ⅰ）當(dāng)k=1時(shí)，，∴AB=4p
（Ⅱ）設(shè)線段AB中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，y），則當(dāng)k變化時(shí)，，消去k，得．
即點(diǎn)C的軌跡方程為．       
（Ⅲ）拋物線x²=2py（p＞0）的準(zhǔn)線l的方程為
假設(shè)在l上存在一點(diǎn)，使，則有 ①
將x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²，y₁+y₂=2pk²+p，，代入①式，整理得（x-pk）²=0，∴x=pk．
∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，在l上存在點(diǎn)，使得．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查軌跡問題，同時(shí)考查存在性問題，有一定的難度．