Question

求證：若一條直線分別和兩個相交平面平行，則這條直線必與它們的交線平行.

Answer 1

【探究】 首先將文字敘述的條件及結(jié)論轉(zhuǎn)化成數(shù)學符號，利用兩個輔助平面得到與a平行的直線，通過傳遞得到結(jié)論.

已知：a∥α，a∥β,α∩β=b.求證：a∥b.

證明：設(shè)A∈α,且Ab,過直線a和點A作平面γ交平面α于直線c，如圖

∵a∥α,aγ,α∩γ=c

∴a∥c(直線和平面平行的性質(zhì)定理).

再設(shè)B∈β,且Bb，同樣，過直線a和點B的平面δ交平面β于直線d.

∵a∥β,∴a∥d(直線和平面平行的性質(zhì)定理).∴d∥c.

又∵dβ,cβ,∴c∥β(直線與平面平行的判定定理).

又∵cα,α∩β=b,∴c∥b(直線與平面平行的性質(zhì)定理).

從而a∥b.

【規(guī)律總結(jié)】 如果已知條件是“線面”平行，欲證的結(jié)論是“線線平行”，那么就需要將“線面平行”向“線線平行”轉(zhuǎn)化，通常可以利用線面平行的性質(zhì)定理，作輔助平面得到某條或某幾條“面面的交線”來實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化.