Question

已知直線y=-x+1與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)在直線l：x-2y=0上．
（Ⅰ）求此橢圓的離心率；
（Ⅱ）若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)在圓x²+y²=4上，求此橢圓的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，由方程組得關(guān)于x的一元二次方程；由根與系數(shù)的關(guān)系，可得x₁+x₂，y₁+y₂；從而得線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線l的方程x-2y=0，得出a、c的關(guān)系，從而求得橢圓的離心率．
（Ⅱ）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（b，0），F(xiàn)關(guān)于直線l：x-2y=0的對(duì)稱點(diǎn)為（x，y），則由互為對(duì)稱點(diǎn)的連線被對(duì)稱軸垂直平分，可得方程組，解得x、y；代入圓的方程 x²+y²=4，得出b的值，從而得橢圓的方程．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由得：（a²+b²）x²-2a²x+a²-a²b²=0，
由根與系數(shù)的關(guān)系，得，
且判別式△=4a²b²（a²+b²-1）＞0，即a²+b²-1＞0（*）；
∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）．
由已知得，
∴a²=2b²=2（a²-c²），∴a²=2c²；故橢圓的離心率為．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，從而橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（b，0），
設(shè)F（b，0）關(guān)于直線l：x-2y=0的對(duì)稱點(diǎn)為（x，y），
則且，
解得．
由已知得 x²+y²=4，∴，
∴b²=4，代入（Ⅰ）中（*）滿足條件
故所求的橢圓方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓的綜合應(yīng)用問題，也考查了一定的邏輯思維能力和計(jì)算能力；解題時(shí)應(yīng)細(xì)心解答．