Question

直線x+y=n（n∈N⁺）與x軸y軸所圍成區(qū)域內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為a_n，所圍成區(qū)域內(nèi)部（包括邊界）的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為b_n，（整點(diǎn)就是橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)）
（Ⅰ）求a₃和b₃的值；
（Ⅱ）求a_n及b_n的表達(dá)式；
（Ⅲ）對a_n個(gè)整點(diǎn)用紅黃藍(lán)白四色之一著色，其方法總數(shù)為A_n，對b_n個(gè)整點(diǎn)用紅黃兩色之一著色，其方法總數(shù)為B_n，試比較A_n與B_n的大小

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲求a₃和b₃的值，只需令n=3時(shí)，找出滿足條件的點(diǎn)，即可得到．
（Ⅱ）通過探討各直線上的點(diǎn)和區(qū)域內(nèi)部的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即可求得a_n及b_n的表達(dá)式；
（Ⅲ）由（Ⅱ）的結(jié)論求出A_n，B_n，利用作商法比較大�。�
解答：解：（Ⅰ）n=3時(shí)，直線x=0上有（0，0）（0，1）（0，2）（0，3）4個(gè)點(diǎn)，直線x=1上有（1，0）（1，1）（1，2）3個(gè)點(diǎn)，
直線x=2上有（2，0）（2，1）2個(gè)點(diǎn)，直線x=3上有（3，0）1個(gè)點(diǎn)，所以a₃=1，b₃=4+3+2+1=10
（Ⅱ）n=1時(shí)，b₁=3，a₁=0
n=2時(shí)，b₁=6，a₂=0
當(dāng)n≥3時(shí)，b_n=（n+1）+n+（n-1）+…+2+1=
a_n=b_n-3（n+1）+3=
當(dāng)n=1，2時(shí)也滿足
所以a_n=，b_n=（n∈N^*_）
（Ⅲ）對于a_n個(gè)整點(diǎn)中的每一個(gè)點(diǎn)都有4種著色方法，故A_n=
對于b_n個(gè)整點(diǎn)中的每一個(gè)點(diǎn)都有2種著色方法，故B_n=
∴===
當(dāng)n=1，2，3，4，5，6，7，8時(shí)A_n＜B_n
當(dāng)n≥9且n∈N^*時(shí)，A_n＞B_n
點(diǎn)評：本題是個(gè)中檔題，主要考查了數(shù)列遞推式，同時(shí)考查了作商比較大小的方法，注意分類討論的思想的應(yīng)用．