Question

已知函數(shù)y＝asinx＋bcosx＋c的圖象上有一個(gè)最低點(diǎn)(，1)，如果圖象上每點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，然后向左平移1個(gè)單位可得y＝f(x)的圖象，又知f(x)＝3的所有正根依次為一個(gè)公差為3的等差數(shù)列，求f(x)的解析式、最小正周期和單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

答案：
解析：

解答　　y＝asinx＋bcosx＋c＝sin(x＋)＋c，其中tan＝，與點(diǎn)(a，b)同象限．依題意得 　　 　　∴ 　　∴y＝(c－1)sin(x－)＋c 　　將上面函數(shù)圖象上每點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短原來(lái)的3/π倍(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)y＝(c－1)sin(x－)＋c的圖象，再將得到的圖象向左平稱1個(gè)單位得以函數(shù)y＝(c－1)·sin[(x＋1)－]＋c的圖象． 　　∴f(x)＝(c－1)sinx＋c 　　函數(shù)f(x)的周期T＝6． 　　f(x)＝3的根就是直線y＝3與曲線y＝f(x)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．又f(x)＝3的正根成等差數(shù)列，故y＝3必是過(guò)曲線y＝f(x)的所有最高點(diǎn)或所有最低點(diǎn)的切線，或是過(guò)曲線y＝f(x)的所有對(duì)稱中心的直線． 　　∵點(diǎn)(，1)是y＝f(x)圖象上的最低點(diǎn)． 　　∴直線y＝3不過(guò)曲線y＝f(x)的最低點(diǎn) 　　(1)當(dāng)直線y＝3是過(guò)曲線y＝f(x)所以最高點(diǎn)的切線時(shí)，c必大于1， 　　∴(c－1)＋c＝3，∴c＝2 　　此時(shí)y＝3與y＝f(x)＝sinx＋2交點(diǎn)橫坐標(biāo)之差應(yīng)為6，不合． 　　(2)當(dāng)直線y＝3過(guò)曲線y＝f(x)＝(c－1)sinx＋c的對(duì)稱中心時(shí)，則sinx＝0，c＝3．此時(shí)f(x)＝3的解恰好是公差＝3的等差數(shù)列． 　　綜上知：f(x)＝2sinx＋3 　　解不等式2kπ＋≤x＜2kπ＋(k∈Z得函數(shù) 　　y＝2sinx＋3的單調(diào)減區(qū)間為 　　[6k＋，6k＋]，k∈Z