Question

如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2BC=2CD=2，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，沿直線DE將△ADE翻折至△A′DE（如圖2），
（Ⅰ）取A′B的中點(diǎn)G，求證：EG∥面A′FC；
（Ⅱ）若使二面角A′-DE-B為60°，求二面角F-A′B-C的正切值

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取A'C中點(diǎn)H，連FH，GH，說(shuō)明即四邊形EFHG為平行四邊形，利用直線與平面平行的判定定理證明EG∥面A'FC．
（Ⅱ）解法一：作FK⊥A'B于K，連結(jié)KH，說(shuō)明∠FKH為二面角F-A'B-C的平面角．通過(guò)△A'KH∽△A'CB，求解角即可．
解法二：以F為原點(diǎn)，F(xiàn)E為x軸，F(xiàn)C為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A'BF的法向量為

m

=(3，-2

3

，2)，平面A'BC的法向量，利用向量的數(shù)量積求解二面角F-A′B-C的余弦值，然后求解正切值．

解答： 解：（Ⅰ）取A'C中點(diǎn)H，連FH，GH，∴GH∥FE∥BC且GH=FE=

1

2

BC
即四邊形EFHG為平行四邊形，∴FH∥EG，EG?面A'FC，F(xiàn)H?面A'FC，∴EG∥面A'FC；…（7分）
（Ⅱ）解法一：作FK⊥A'B于K，連結(jié)KH，
則FH⊥平面A'BC，∴FH⊥A'B，∴A'B⊥平面FKH，∴A'B⊥KH
∴∠FKH為二面角F-A'B-C的平面角．…（11分）
又△A'KH∽△A'CB，
∴

HK

BC

=

A′H

A′B

，得：HK=

21

14

，
又HF=

3

4

∴tan∠FKH=

21

2

．…（15分）
解法二：以F為原點(diǎn)，F(xiàn)E為x軸，F(xiàn)C為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，

3

2

，0)，C(0，

3

2

，0)，A′(0，

3

4

，

3

4

)，A'C的中點(diǎn)H(0，

3 3

8

，

3

8

)，
平面A'BF的法向量為

m

=(3，-2

3

，2)，
平面A'BC的法向量為

n

=(0，

3

，1)，cos＜

m

，

n

＞=-

2

5

，
所以二面角F-A'B-C的正切值為

21

2

．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判斷，二面角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．