Question

已知常數(shù)、、都是實(shí)數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的解集為．

（Ⅰ）若的極大值等于，求的極小值；

（Ⅱ）設(shè)不等式的解集為集合，當(dāng)時(shí)，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn).

【解析】

試題分析：：1.第（Ⅰ）的解答還是要破費(fèi)周折的.首先要求出導(dǎo)函數(shù).

然后根據(jù)的解集為，通過解混合組,得到進(jìn)而得到.接下來通過研究函數(shù)的單調(diào)性，由的極大值等于，可解得，這樣就可以求出的極小值.2.第（Ⅱ）問先由不等式的解集為集合，可以解得.然后研究的單調(diào)性，值得注意的是，換句話說方程兩邊對求導(dǎo)數(shù)，、應(yīng)看作是常數(shù).單調(diào)性弄清楚后，還要比較、的大小.然后根據(jù)只有一個(gè)零點(diǎn)，列出或，最后解之即可.值得注意的是，很多考生漏了.

試題解析：（Ⅰ）∵，∴.

∵不等式的解集為，

∴不等式的解集為.

∴即 

∴，.

∴當(dāng)或時(shí)，，即為單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，即為單調(diào)遞增函數(shù).

∴當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值.

由已知得，解得.

∴.

∴的極小值.

（Ⅱ）∵，，，

∴，解得，即.

∵，∴.

∴當(dāng)或時(shí)，，即為單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，即為單調(diào)遞增函數(shù).

∴當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù).

∵，

，，

∴.

∴在上只有一個(gè)零點(diǎn)或.

由得；

由，即，得.

∴實(shí)數(shù)的取值范圍為或.

∴當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn).

考點(diǎn)：本題通過導(dǎo)數(shù)綜合考查函數(shù)的單調(diào)性、極值、零點(diǎn)、比較大小等知識.