Question

已知函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，給出下列6個(gè)函數(shù)：
①g（x）=

sinx(1-sinx)

1-sinx

；
②g（x）=sin（

5

2

π+x）；
③g（x）=

1+sinx-cosx

1+sinx+cosx

；
④g（x）=lgsinx；
⑤g（x）=lg（

x2+1

+x）；
⑥g（x）=

2

ex+1

-1
其中可以使函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）是偶函數(shù)的函數(shù)是（　　）

• A、①⑥
• B、①⑤
• C、⑤⑥
• D、③⑤

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：若使函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）是偶函數(shù)，則只需要g（x）是奇函數(shù)即可．分別根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判決即可．

解答： 解：∵f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
∴若使函數(shù)F（x）=f（x）•g（x）是偶函數(shù)，則g（x）是奇函數(shù)即可．
①g（x）=

sinx(1-sinx)

1-sinx

=sinx，要使函數(shù)有意義，則1-sinx≠0，即sinx≠1，即x≠2kπ+

π

2

，定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，∴g（x）為非奇非偶函數(shù)；
②g（x）=sin（

5

2

π+x）=cosx，為偶函數(shù)，不滿足條件；
③g（x）=

1+sinx-cosx

1+sinx+cosx

；則g（

π

2

）=

2

2

=1，當(dāng)x=-

π

2

無(wú)意義，即函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，∴g（x）為非奇非偶函數(shù)
④g（x）=lgsinx；要使函數(shù)有意義，則sinx＞0，即2kπ≤x≤2kπ+π，k∈Z，即函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，∴g（x）為非奇非偶函數(shù)
⑤若g（x）=lg（

x2+1

+x）；則g（-x）=lg(

x2+1

-x)=lg

1

x2+1 +x

=lg(

x2+1

+x)-1=-lg?(

x2+1

+x)=-g(x)，
∴g（x）為奇函數(shù)，滿足條件．
⑥∵g（x）=

2

ex+1

-1=

2-ex-1

ex+1

=

1-ex

ex+1

，
∴g(-x)=

1-e-x

e-x+1

=

ex-1

ex+1

=-

1-ex

ex+1

=-g(x)，
即函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，滿足條件．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用和判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義是解決本題的關(guān)鍵，注意函數(shù)定義域的對(duì)稱的特點(diǎn)．