Question

【題目】設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，滿足，，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．

（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

（2）在和之間插入1個(gè)數(shù)，使、、成等差數(shù)列；在和之間插入2個(gè)數(shù)、，使、、、成等差數(shù)列；；在和之間插入個(gè)數(shù)、、、，使、、、、、成等差數(shù)列．

① 求；

② 對(duì)于①中的，是否存在正整數(shù)、，使得成立？若存在，求出所有的正整數(shù)對(duì)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①；②存在符合題意的正整數(shù)對(duì)，它們?yōu)?/span>和．

【解析】

（1）求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差即得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由題得當(dāng)時(shí)，，，相減即得的通項(xiàng)公式；

（2）①，再利用錯(cuò)位相減法求和得解；②假設(shè)存在正整數(shù)，使得，化簡(jiǎn)得，令，證明時(shí)，，列舉得解.

（1）設(shè)數(shù)列的公差為，則由可得，

再由化簡(jiǎn)得：，解得：，∴，

當(dāng)時(shí)，得：；當(dāng)時(shí)，，，

兩式相減得，∴．

（2）①，

，

設(shè)，

所以，

上面兩式錯(cuò)位相減得，

所以

所以，

∴．

②假設(shè)存在正整數(shù)，使得，

代入化簡(jiǎn)得，即，

令，

則由可得：．

當(dāng)時(shí)，，

∴，即，舍去；

當(dāng)時(shí)，，舍去；

當(dāng)時(shí)，，符合題意；

當(dāng)時(shí)，，符合題意；

綜上：存在符合題意的正整數(shù)對(duì)，它們?yōu)?/span>和．