Question

已知正項數(shù)列的前項和為，且 .
（1）求的值及數(shù)列的通項公式；
（2）求證：；
（3）是否存在非零整數(shù)，使不等式
對一切都成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

(1) ,
(2)根據(jù)題意，由于，∴.放縮法來得到證明。
(3)，由是非零整數(shù)，知存在滿足條件．

試題分析：(1）由.
當時，，解得或（舍去）．  2分
當時，
由，
∵，∴，則，
∴是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，故．  4分
另法：易得，猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明(略)．
（2）證法一：∵
， 4分
∴當時，

.… 7分
當時，不等式左邊顯然成立.         8分
證法二：∵，∴.
∴. 4分
∴當時，
. 7分
當時，不等式左邊顯然成立.  ……8分
（3）由，得，
設(shè)，則不等式等價于.
，……9分
∵，∴，數(shù)列單調(diào)遞增.          
假設(shè)存在這樣的實數(shù)，使得不等式對一切都成立，則
① 當為奇數(shù)時，得； ……11分
② 當為偶數(shù)時，得，即.  12分
綜上，，由是非零整數(shù)，知存在滿足條件．  12分
點評：解決的關(guān)鍵是利用數(shù)列的單調(diào)性來證明不等式，以及分離參數(shù)的思想來求解參數(shù)的取值范圍。