（滿分12分）

已知函數(shù)f ( x )=x 2+ax+b

（1）若f (x)在[ 1，+∞)內遞增，求實數(shù)a的范圍。

（2）若對任意的實數(shù)x都有f (1+x)=f (1－x) 成立，

①求實數(shù) a的值；

②證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞上是增函數(shù).

 

【答案】

① a＝－2②略

【解析】解：（1）a ≥－2

 (2)由f(1+x)=f(1－x)得，

(1＋x)2＋a(1＋x)＋b＝(1－x)2＋a(1－x)＋b，即：(a＋2)x＝0，

由于對任意的x都成立，∴ a＝－2.

可知 f (x)=x 2－2x+b，下面證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞上是增函數(shù).設，

則＝（）－（）

＝（）－2（）＝（）（－2）

∵，則＞0，且－2＞2－2＝0，

∴ ＞0，即，故函數(shù)f(x)在區(qū)間[1，＋∞上是增函數(shù).

法2：可用導數(shù)證明

 

 

練習冊系列答案
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（ 本題滿分12分 ）
已知函數(shù)f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x
（I）求f（x）的最小正周期；
（II）若x∈[0，
π2
]，求f（x）的最大值，最小值．

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