Question

5．設(shè)奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，且f（π）=0，則不等式$\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0的解集是（　�。�

• A． （-π，0）∪（π，+∞）
• B． （-∞，-π）∪（0，π）
• C． （-∞，-π）∪（π，+∞）
• D． （-π，0）∪（0，π）

Answer 1

分析 利用函數(shù)是奇函數(shù)，不等式$\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0等價為$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)解不等式即可．

解答 解：∵奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，且f（π）=0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，且f（-π）=-f（π）=0，
則f（x）的圖象如圖：
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴不等式$\frac{f（x）-f（-x）}{x}$＜0等價為$\frac{2f（x）}{x}＜0$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$．
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞π}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{x＜-π}\end{array}\right.$，
即x＞π或x＜-π，
即不等式的解集為（-∞，-π）∪（π，+∞），
故選：C．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，利用函數(shù)取值的變化即可求出不等式的解集，考查函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用．