Question

如圖，已知拋物線y=4-x²與直線y=3x的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在拋物線上從A向B運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不同于點(diǎn)A、B），
（Ⅰ）求由拋物線y=4-x²與直線y=3x所圍成的圖形面積；
（Ⅱ）求使△PAB的面積為最大時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

解（Ⅰ）由解得或
即A（1，3），B（-4，-12）
因此所求圖形的面積為=
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b）由（Ⅰ）得A（1，3），B（-4，-12）
要使△PAB的面積最大即使點(diǎn)P到直線3x-y=0的距離最大 故過(guò)點(diǎn)P的切線與直線3x-y=0平行
又過(guò)點(diǎn)P的切線得斜率為k=y'=-2x|_x=a=-2a∴-2a=3即，
∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，△PAB的面積最大．
分析：（Ⅰ）聯(lián)立方程可求A（1，3），B（-4，-12），所求圖形的面積為，利用積分可求
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，b）由（Ⅰ）可得A，B，要使△PAB的面積最大即使點(diǎn)P到直線3x-y=0的距離最大，故過(guò)點(diǎn)P的切線與直線3x-y=0平行，從而可求
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用．利用定積分求解圖象的面積的最值，屬于基礎(chǔ)試題