Question

設(shè)A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂）兩點(diǎn)在拋物線y=2x²上，l是AB的垂直平分線．
1）當(dāng)且僅當(dāng)x₁+x₂取何值時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F？證明你的結(jié)論；
2）當(dāng)直線l的斜率為2時(shí)，求l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先把拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．先看直線l的斜率不存在時(shí)，顯然x₁+x₂=0；看直線斜率存在時(shí)設(shè)斜率為k，截距為b，進(jìn)而用A，B的坐標(biāo)表示出線段AB的中點(diǎn)代入設(shè)的直線方程，及用A，B的坐標(biāo)表示出直線的斜率，聯(lián)立方程可分別求得x₁+x₂和x²₁+x²₂的表達(dá)式進(jìn)而求得b的范圍，判斷即l的斜率存在時(shí)，不可能經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F．最后綜合可得結(jié)論．
（II）設(shè)直線l的方程為：y=2x+b，進(jìn)而可得過(guò)直線AB的方程，代入拋物線方程，根據(jù)判別式大于0求得m的范圍，進(jìn)而根據(jù)AB的中點(diǎn)的坐標(biāo)及b和m的關(guān)系求得b的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵拋物線y=2x²，即x²=

y

2

，∴p=

1

4

，
∴焦點(diǎn)為F（0，

1

8

）
（1）直線l的斜率不存在時(shí)，顯然有x₁+x₂=0
（2）直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)為k，截距為b
即直線l：y=kx+b由已知得：

y1+y2 2 =k• x1+x2 2 +b y1-y2 x1-x2 =- 1 k

?

2x 2 1 + 2x 2 2 2 =k• x1+x2 2 +b 2x 2 1 - 2x 2 2 x1-x2 =- 1 k

?

x 2 1 + x 2 2 =k• x1+x2 2 +b x1+x2=- 1 2k

?x₁²+x₂²=-

1

4

+b≥0?b≥

1

4

．
即l的斜率存在時(shí)，不可能經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F（0，

1

8

）
所以當(dāng)且僅當(dāng)x₁+x₂=0時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F
（II）解：設(shè)直線l的方程為：y=2x+b，
故有過(guò)AB的直線的方程為y=-

1

2

x+m，代入拋物線方程有2x²+

1

2

x-m=0，得x₁+x₂=-

1

4

．
由A、B是拋物線上不同的兩點(diǎn)，于是上述方程的判別式△=

1

4

+8m＞0，也就是：m＞-

1

32

．
由直線AB的中點(diǎn)為（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）=（-

1

8

，

1

16

+m），
則

1

16

+m=-

1

4

+b，于是：b=

5

16

+m＞

5

16

-

1

32

=

9

32

．
即得l在y軸上的截距的取值范圍是（

9

32

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．在解決直線與圓錐曲線的問(wèn)題時(shí)，要注意討論直線斜率是否存在的問(wèn)題．