Question

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對一切正整數(shù)n，點(diǎn)Pn(n，Sn)都在函數(shù)f(x)＝x2＋2x的圖象上，且在點(diǎn)Pn(n，Sn)處的切線的斜率為kn.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

(2)若bn＝2knan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.

 

Answer 1

（1）an＝2n＋1（2）Tn＝·4n＋2－

【解析】(1)∵點(diǎn)Pn(n，Sn)在函數(shù)f(x)＝x2＋2x的圖象上，

∴Sn＝n2＋2n(n∈N*)，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3滿足上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n＋1.

(2)由f(x)＝x2＋2x，求導(dǎo)得f′(x)＝2x＋2.

∵在點(diǎn)Pn(n，Sn)處的切線的斜率為kn，

∴kn＝2n＋2，∴bn＝2knan＝4·(2n＋1)·4n，

∴Tn＝4×3×4＋4×5×42＋4×7×43＋…＋4×(2n＋1)×4n，用錯(cuò)位相減法可求得Tn＝·4n＋2－.