已知以點(diǎn)C（t，數(shù)學(xué)公式）（t∈R，t≠0）為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O、A，與y軸交于點(diǎn)O、B，其中O為原點(diǎn)．
（1）求證：△OAB的面積為定值；
（2）設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點(diǎn)M，N，若OM=ON，求圓C的方程．

解：（1）∵圓C過原點(diǎn)O，
∴OC2=t2+，
則圓C的方程是（x-t）2+（y-）2=t2+，
令x=0，得y1=0，y2=，
令y=0，得x1=0，x2=2t
∴S△OAB=OA×OB=×||×|2t|=4，
即：△OAB的面積為定值；
（2）∵OM=ON，CM=CN，
∴OC垂直平分線段MN，
∵kMN=-2，∴koc=，
∴直線OC的方程是y=x，
∴=t，解得：t=2或t=-2，
當(dāng)t=2時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為（2，1），OC=，
此時(shí)C到直線y=-2x+4的距離d=＜，
圓C與直線y=-2x+4相交于兩點(diǎn)，
當(dāng)t=-2時(shí)，圓心C的坐標(biāo)為（-2，-1），OC=，
此時(shí)C到直線y=-2x+4的距離d=＞，
圓C與直線y=-2x+4不相交，
∴t=-2不符合題意舍去，
∴圓C的方程為（x-2）2+（y-1）2=5．
分析：（1）求出半徑，寫出圓的方程，再解出A、B的坐標(biāo)，表示出面積即可．
（2）通過題意解出OC的方程，解出t 的值，直線y=-2x+4與圓C交于點(diǎn)M，N，判斷t是否符合要求，可得圓的方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等有關(guān)知識(shí)，是中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知以點(diǎn)C （t，
2
t
）（t∈R），t≠0）為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O，A，與y軸交于點(diǎn)O，B，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求證：△OAB的面積為定值．
（2）設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點(diǎn)M，N若|OM|=|ON|，求圓C的方程．
（3）若t＞0，當(dāng)圓C的半徑最小且時(shí)，圓C上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：y-
2
=k(x-3-
2
)的距離為
1
2
，求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知以點(diǎn)C（t，
2t
）（t∈R，t≠0）為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O、A，與y軸交于點(diǎn)O、B，其中O為原點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：△AOB的面積為定值；
（Ⅱ）設(shè)直線2x+y-4=0與圓C交于點(diǎn)M、N，若丨OM丨=丨ON丨，求圓C的方程；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設(shè)P、Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C的動(dòng)點(diǎn)，求丨PB丨+丨PQ丨的最小值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知以點(diǎn)C（t，
2t
）（t∈R，t≠0）為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O、A，與y軸交于點(diǎn)O、B，其中O為原點(diǎn)．
（1）求證：△OAB的面積為定值；
（2）設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點(diǎn)M，N，若OM=ON，求圓C的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：《3.3 圓的方程》2013年高考數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練（解析版） 題型：填空題

已知以點(diǎn)C（t，）（t∈R，t≠0）為圓心的圓與x軸交于點(diǎn)O、A，與y軸交于點(diǎn)O、B，其中O為原點(diǎn)．
（1）求證：△OAB的面積為定值；
（2）設(shè)直線y=-2x+4與圓C交于點(diǎn)M，N，若OM=ON，求圓C的方程．

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