如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥面ABCD，E是PD上一點．
（1）求證：AC⊥BE．
（2）若PD=AD=1，且∠PCE的余弦值為，求三棱錐E-PBC的體積．

【答案】分析：（1）連接BD，由已知中四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥面ABCD，可得PD⊥AC，進而得到AC⊥面PBD，由線面平行的定義，可得答案．
（2）設PE=x，由勾股定理求出CE，結(jié)合∠PCE的余弦值為，由余弦定理可得x值，代入棱錐體積公式可得答案．
解答：解：（1）連接BD
∵ABCD是正方形
∴AC⊥BD又PD⊥面ABCD
∴PD⊥AC
∵PD∩BD=D
∴AC⊥面PBD，又BE?面PBD
∴AC⊥BE…（6分）
（2）設PE=x，則
又
∴△PCE中，由余弦定理解為：
∴
∴…（12分）
點評：（1）的關鍵是于熟練掌握線面垂直，線線垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，熟練掌握線面垂直的定義及判定是基礎；
（2）的關鍵是利用等積法，將三棱錐轉(zhuǎn)化為B-PEC，解三角形PEC求出底面面積
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD=2，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且△PAD為等腰直角三角形，∠APD=90°，M為AP的中點．
（1）求證：AD⊥PB；
（2）求三棱錐P-MBD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，AB=2，BC=
2
，且側(cè)面PAB是正三角形，平面PAB⊥平面ABCD．
（1）求證：PD⊥AC；
（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角E-BD-A的大小為45°，若存在，試求
AE
AP
的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點F是PB中點．
（Ⅰ）若E為BC中點，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥平面ABCD，ABCD是直角梯形，DA⊥AB，CB⊥AB，PA=2AD=BC=2，AB=2
2
，設PC與AD的夾角為θ．
（1）求點A到平面PBD的距離；
（2）求θ的大��；當平面ABCD內(nèi)有一個動點Q始終滿足PQ與AD的夾角為θ，求動點Q的軌跡方程．

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