Question

本小題滿分14分）

（Ⅰ）已知函數(shù)，其中為有理數(shù)，且. 求的最小值；

（Ⅱ）試用（Ⅰ）的結(jié)果證明如下命題：設(shè)，為正有理數(shù). 若，則；

（Ⅲ）請將（Ⅱ）中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你所推廣的命題.

注：當(dāng)為正有理數(shù)時(shí)，有求導(dǎo)公式.

 

Answer 1

【答案】

詳見解析

【解析】本題主要考察利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，并結(jié)合推理，考察數(shù)學(xué)歸納法，對考生的歸納推理能力有較高要求。

（Ⅰ），令，解得.

當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)是減函數(shù)；

當(dāng)  時(shí)，，所以在內(nèi)是增函數(shù).

故函數(shù)在處取得最小值.                               

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，有，即   ①

若，中有一個(gè)為0，則成立；

若，均不為0，又，可得，于是

在①中令，，可得，

即，亦即.

綜上，對，，為正有理數(shù)且，總有.   ②

    

 

（Ⅲ）（Ⅱ）中命題的推廣形式為：

設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)，為正有理數(shù).

若，則.            ③    

用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

（1）當(dāng)時(shí)，，有，③成立.                      

（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，③成立，即若為非負(fù)實(shí)數(shù)，為正有理數(shù)，

且，則.                

當(dāng)時(shí)，已知為非負(fù)實(shí)數(shù)，為正有理數(shù)，

且，此時(shí)，即，于是

=.

因，由歸納假設(shè)可得

，

從而.

又因，由②得

，

從而.

故當(dāng)時(shí)，③成立.

由（1）（2）可知，對一切正整數(shù)，所推廣的命題成立.                   

說明：（Ⅲ）中如果推廣形式中指出③式對成立，則后續(xù)證明中不需討論的情況.